inverselaplace (s^2)/((s+5)(s^2+2^2))

Lösung

inverse laplace transformation

\frac{s ^{2}}{( s + 5 ) ( s ^{2} + 2 ^{2} )}

\frac{25}{29} e^{- 5 t} + \frac{4}{29} cos (2 t) - \frac{10 sin ( 2 t )}{29}

Schritte zur Lösung

L^{- 1} {\frac{s ^{2}}{( s + 5 ) ( s ^{2} + 2 ^{2} )}}

Ermittle den Partialbruch von

\frac{s ^{2}}{( s + 5 ) ( s ^{2} + 2 ^{2} )} : \frac{25}{29 ( s + 5 )} + \frac{4 s - 20}{29 ( s ^{2} + 4 )}

= L^{- 1} {\frac{25}{29 ( s + 5 )} + \frac{4 s - 20}{29 ( s ^{2} + 4 )}}

Schreibe um

= L^{- 1} {\frac{4 s}{29 ( s ^{2} + 4 )} + \frac{25}{29 ( s + 5 )} - \frac{20}{29 ( s ^{2} + 4 )}}

Wende die lineare Eigenschaftder inversen Laplace-Transformation an:

Für Funktionen

f (s), g (s)

und Konstanten

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= \frac{25}{29} L^{- 1} {\frac{1}{s + 5}} + \frac{4}{29} L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 4}} - \frac{20}{29} L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 4}}

L^{- 1} {\frac{1}{s + 5}} : e^{- 5 t}

L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 4}} : cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 4}} : \frac{1}{2} sin (2 t)

= \frac{25}{29} e^{- 5 t} + \frac{4}{29} cos (2 t) - \frac{20}{29} \cdot \frac{1}{2} sin (2 t)

Fasse

\frac{25}{29} e^{- 5 t} + \frac{4}{29} cos (2 t) - \frac{20}{29} \frac{1}{2} sin (2 t)

zusammen:

\frac{25}{29} e^{- 5 t} + \frac{4}{29} cos (2 t) - \frac{10 sin ( 2 t )}{29}

= \frac{25}{29} e^{- 5 t} + \frac{4}{29} cos (2 t) - \frac{10 sin ( 2 t )}{29}