intégrale de (cos(θ))/(sqrt(2+sin^2(θ)))

Solution

\int \frac{cos ( θ )}{2 + sin ^{2} ( θ )} d θ

ln \frac{1}{2} sin (θ) + \frac{1}{2} (2 + sin^{2} (θ)) + C

étapes des solutions

\int \frac{cos ( θ )}{2 + sin ^{2} ( θ )} d θ

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

= \int \frac{cos ( θ )}{- cos ^{2} ( θ ) + 3} d θ

Appliquer l'intégration par subsitution

= \int \frac{1}{u ^{2} + 2} d u

Appliquer la subsitution trigonométrique

= \int sec (v) d v

Utiliser l'intégrale commune:

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

Rétrosubstituer

= ln tan (arctan (\frac{1}{2} sin (θ))) + sec (arctan (\frac{1}{2} sin (θ)))

Simplifier

ln tan (arctan (\frac{1}{2} sin (θ))) + sec (arctan (\frac{1}{2} sin (θ))) : ln \frac{1}{2} sin (θ) + \frac{1}{2} (2 + sin^{2} (θ))

= ln \frac{1}{2} sin (θ) + \frac{1}{2} (2 + sin^{2} (θ))

Ajouter une constante à la solution

= ln \frac{1}{2} sin (θ) + \frac{1}{2} (2 + sin^{2} (θ)) + C