integral of 4cos^2(x)tan^3(x)

Lösung

\int 4 cos^{2} (x) tan^{3} (x) d x

4 (- ln ∣ cos (x) ∣ + \frac{cos ^{2} ( x )}{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int 4 cos^{2} (x) tan^{3} (x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int cos^{2} (x) tan^{3} (x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 4 \cdot \int \frac{( 1 - cos ^{2} ( x ) ) sin ( x )}{cos ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= 4 \cdot \int - \frac{1 - u ^{2}}{u} d u

Multipliziere aus

- \frac{1 - u ^{2}}{u} : - \frac{1}{u} + u

= 4 \cdot \int - \frac{1}{u} + u d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 (- \int \frac{1}{u} d u + \int u d u)

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int u d u = \frac{u ^{2}}{2}

= 4 (- ln ∣ u ∣ + \frac{u ^{2}}{2})

Setze in

u = cos (x)

ein

= 4 (- ln ∣ cos (x) ∣ + \frac{cos ^{2} ( x )}{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 4 (- ln ∣ cos (x) ∣ + \frac{cos ^{2} ( x )}{2}) + C