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人気のある微分積分 >

integral of (e^{2x})/((e^x+1)^2)

解

\int \frac{e ^{2 x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{2}} d x

解

ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{e ^{x} + 1} + C

解答ステップ

\int \frac{e ^{2 x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{2}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{1}{2 ( u + 1 ) ^{2}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{( u + 1 ) ^{2}} d u

u置換積分法を適用する

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2 v}{( v + 1 ) ^{2}} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{v}{( v + 1 ) ^{2}} d v

u置換積分法を適用する

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{w - 1}{w ^{2}} d w

拡張

\frac{w - 1}{w ^{2}} : \frac{1}{w} - \frac{1}{w ^{2}}

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{w} - \frac{1}{w ^{2}} d w

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 (\int \frac{1}{w} d w - \int \frac{1}{w ^{2}} d w)

\int \frac{1}{w} d w = ln ∣ w ∣

\int \frac{1}{w ^{2}} d w = - \frac{1}{w}

= \frac{1}{2} \cdot 2 (ln ∣ w ∣ - (- \frac{1}{w}))

代用を戻す

= \frac{1}{2} \cdot 2 (ln e^{2 x} + 1 - (- \frac{1}{e ^{2 x} + 1}))

簡素化

\frac{1}{2} \cdot 2 (ln e^{2 x} + 1 - (- \frac{1}{e ^{2 x} + 1})) : ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{e ^{x} + 1}

= ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{e ^{x} + 1}

定数を解答に追加する

= ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{e ^{x} + 1} + C

グラフ

人気の例

integral of (x^3-x^2-12)/x

integral of x/(2+x^3)

integral of 1/(1+\sqrt[3]{1+x)}

integral of 2/((x-2)(1-x))

integral of (x^2+3)/(x^2-4)