integral of 1/(2+sin^2(x))

Lösung

\int \frac{1}{2 + sin ^{2} ( x )} d x

\frac{1}{6} arctan (\frac{3}{2} tan (x)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{2 + sin ^{2} ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{2}{- cos ( 2 x ) + 5} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{- cos ( 2 x ) + 5} d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 ( - cos ( u ) + 5 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{- cos ( u ) + 5} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{3 v ^{2} + 2} d v

Wende integrale Substitution an

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{6 ( w ^{2} + 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} arctan (w)

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} arctan (\frac{3}{2} tan (\frac{2 x}{2}))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} arctan (\frac{3}{2} tan (\frac{2 x}{2})) : \frac{1}{6} arctan (\frac{3}{2} tan (x))

= \frac{1}{6} arctan (\frac{3}{2} tan (x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{6} arctan (\frac{3}{2} tan (x)) + C