integral of (x^2+4x)e^{2x}

解答

\int (x^{2} + 4 x) e^{2 x} d x

\frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} x - \frac{3}{4} e^{2 x} + C

求解步骤

\int (x^{2} + 4 x) e^{2 x} d x

乘开

(x^{2} + 4 x) e^{2 x} : e^{2 x} x^{2} + 4 e^{2 x} x

= \int e^{2 x} x^{2} + 4 e^{2 x} x d x

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{2 x} x^{2} d x + \int 4 e^{2 x} x d x

\int e^{2 x} x^{2} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x})

\int 4 e^{2 x} x d x = 2 e^{2 x} x - e^{2 x}

= \frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x}) + 2 e^{2 x} x - e^{2 x}

化简

\frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x}) + 2 e^{2 x} x - e^{2 x} : \frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} x - \frac{3}{4} e^{2 x}

= \frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} x - \frac{3}{4} e^{2 x}

解答补常数

= \frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} x - \frac{3}{4} e^{2 x} + C

in t e g r a l csc (x)

\int \frac{x + 2}{2 x} d x

\int \frac{1}{cos ^{2} ( x ) ( 1 + tan ( x ) )} d x

\int \frac{3 x ^{2} - 7 x}{3 x + 2} d x

\int \frac{e ^{- \frac{1}{x ^{2}}}}{x ^{3}} d x