integral of sin^4(w/2)cos^2(w/2)

Lösung

\int sin^{4} (\frac{w}{2}) cos^{2} (\frac{w}{2}) d w

2 (- \frac{1}{4} sin^{3} (\frac{w}{2}) cos (\frac{w}{2}) + \frac{3}{16} (w - sin (w)) + \frac{1}{6} sin^{5} (\frac{w}{2}) cos (\frac{w}{2}) - \frac{5}{96} (- 4 sin^{3} (\frac{w}{2}) cos (\frac{w}{2}) + 3 (w - sin (w)))) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{4} (\frac{w}{2}) cos^{2} (\frac{w}{2}) d w

Wende U-Substitution an

= \int sin^{4} (u) cos^{2} (u) \cdot 2 d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int sin^{4} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int sin^{4} (u) (1 - sin^{2} (u)) d u

Multipliziere aus

sin^{4} (u) (1 - sin^{2} (u)) : sin^{4} (u) - sin^{6} (u)

= 2 \cdot \int sin^{4} (u) - sin^{6} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int sin^{4} (u) d u - \int sin^{6} (u) d u)

\int sin^{4} (u) d u = - \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

\int sin^{6} (u) d u = - \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)))

= 2 (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)) - (- \frac{cos ( u ) sin ^{5} ( u )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u) + \frac{3}{8} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)))))

Setze in

u = \frac{w}{2}

ein

= 2 (- \frac{1}{4} sin^{3} (\frac{w}{2}) cos (\frac{w}{2}) + \frac{3}{8} (\frac{w}{2} - \frac{1}{2} sin (2 \cdot \frac{w}{2})) - (- \frac{cos ( \frac{w}{2} ) sin ^{5} ( \frac{w}{2} )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (\frac{w}{2}) cos (\frac{w}{2}) + \frac{3}{8} (\frac{w}{2} - \frac{1}{2} sin (2 \cdot \frac{w}{2})))))

Vereinfache

2 (- \frac{1}{4} sin^{3} (\frac{w}{2}) cos (\frac{w}{2}) + \frac{3}{8} (\frac{w}{2} - \frac{1}{2} sin (2 \cdot \frac{w}{2})) - (- \frac{cos ( \frac{w}{2} ) sin ^{5} ( \frac{w}{2} )}{6} + \frac{5}{6} (- \frac{1}{4} sin^{3} (\frac{w}{2}) cos (\frac{w}{2}) + \frac{3}{8} (\frac{w}{2} - \frac{1}{2} sin (2 \cdot \frac{w}{2}))))) : 2 (- \frac{1}{4} sin^{3} (\frac{w}{2}) cos (\frac{w}{2}) + \frac{3}{16} (w - sin (w)) + \frac{1}{6} sin^{5} (\frac{w}{2}) cos (\frac{w}{2}) - \frac{5}{96} (- 4 sin^{3} (\frac{w}{2}) cos (\frac{w}{2}) + 3 (w - sin (w))))

= 2 (- \frac{1}{4} sin^{3} (\frac{w}{2}) cos (\frac{w}{2}) + \frac{3}{16} (w - sin (w)) + \frac{1}{6} sin^{5} (\frac{w}{2}) cos (\frac{w}{2}) - \frac{5}{96} (- 4 sin^{3} (\frac{w}{2}) cos (\frac{w}{2}) + 3 (w - sin (w))))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 (- \frac{1}{4} sin^{3} (\frac{w}{2}) cos (\frac{w}{2}) + \frac{3}{16} (w - sin (w)) + \frac{1}{6} sin^{5} (\frac{w}{2}) cos (\frac{w}{2}) - \frac{5}{96} (- 4 sin^{3} (\frac{w}{2}) cos (\frac{w}{2}) + 3 (w - sin (w)))) + C

\int \frac{ln ( x )}{x ^{m}} d x

\int \frac{9}{1 - 3 x} d x

\int \frac{cos ( 3 t )}{t} d t

\int \frac{x ^{2} - 3 x + 11}{x - 2} d x

\int ln (x) + sin (x) + 8 d x