integral of (x-1)e^{-4x}

解答

\int (x - 1) e^{- 4 x} d x

- \frac{1}{4} e^{- 4 x} x + \frac{3}{16} e^{- 4 x} + C

求解步骤

\int (x - 1) e^{- 4 x} d x

乘开

(x - 1) e^{- 4 x} : e^{- 4 x} x - e^{- 4 x}

= \int e^{- 4 x} x - e^{- 4 x} d x

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{- 4 x} x d x - \int e^{- 4 x} d x

\int e^{- 4 x} x d x = \frac{1}{16} (- 4 e^{- 4 x} x - e^{- 4 x})

\int e^{- 4 x} d x = - \frac{1}{4} e^{- 4 x}

= \frac{1}{16} (- 4 e^{- 4 x} x - e^{- 4 x}) - (- \frac{1}{4} e^{- 4 x})

化简

\frac{1}{16} (- 4 e^{- 4 x} x - e^{- 4 x}) - (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) : - \frac{1}{4} e^{- 4 x} x + \frac{3}{16} e^{- 4 x}

= - \frac{1}{4} e^{- 4 x} x + \frac{3}{16} e^{- 4 x}

解答补常数

= - \frac{1}{4} e^{- 4 x} x + \frac{3}{16} e^{- 4 x} + C