integral of (x^2)/(sqrt((x^2-1)^5))

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{( x ^{2} - 1 ) ^{5}} d x

- \frac{x ^{3}}{3 ( x ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{( x ^{2} - 1 ) ^{5}} d x

(x^{2} - 1)^{5} = (x^{2} - 1)^{\frac{5}{2}},

angenommen

(x^{2} - 1) \geq 0

= \int \frac{x ^{2}}{( x ^{2} - 1 ) ^{\frac{5}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int cot^{4} (u) sec^{3} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{cos ( u )}{sin ^{4} ( u )} d u

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{v ^{4}} d v

Wende die Potenzregel an

= - \frac{1}{3 v ^{3}}

Ersetze zurück

= - \frac{1}{3 sin ^{3} ( arcsec ( x ) )}

Vereinfache

- \frac{1}{3 sin ^{3} ( arcsec ( x ) )} : - \frac{x ^{3}}{3 ( x ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}}

= - \frac{x ^{3}}{3 ( x ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{x ^{3}}{3 ( x ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}} + C