integral of e^{-sx}*cos(bx)

Lösung

\int e^{- s x} \cdot cos (b x) d x

\frac{b e ^{- s x} sin ( b x )}{b ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s x} cos ( b x )}{b ^{2} + s ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int e^{- s x} cos (b x) d x

Wende die partielle Integration an

= e^{- s x} \frac{1}{b} sin (b x) - \int - s e^{- s x} \frac{1}{b} sin (b x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- s x} \frac{1}{b} sin (b x) - (- s \frac{1}{b} \cdot \int e^{- s x} sin (b x) d x)

Vereinfache

- s \frac{1}{b} : - \frac{s}{b}

= e^{- s x} \frac{1}{b} sin (b x) - (- \frac{s}{b} \cdot \int e^{- s x} sin (b x) d x)

Wende die partielle Integration an

= e^{- s x} \frac{1}{b} sin (b x) - (- \frac{s}{b} (- e^{- s x} \frac{1}{b} cos (b x) - \int s e^{- s x} \frac{1}{b} cos (b x) d x))

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- s x} \frac{1}{b} sin (b x) - (- \frac{s}{b} (- e^{- s x} \frac{1}{b} cos (b x) - s \frac{1}{b} \cdot \int e^{- s x} cos (b x) d x))

Vereinfache

s \frac{1}{b} : \frac{s}{b}

= e^{- s x} \frac{1}{b} sin (b x) - (- \frac{s}{b} (- e^{- s x} \frac{1}{b} cos (b x) - \frac{s}{b} \cdot \int e^{- s x} cos (b x) d x))

Deshalb

\int e^{- s x} cos (b x) d x = e^{- s x} \frac{1}{b} sin (b x) - (- \frac{s}{b} (- e^{- s x} \frac{1}{b} cos (b x) - \frac{s}{b} \cdot \int e^{- s x} cos (b x) d x))

Isoliere

\int e^{- s x} cos (b x) d x

= \frac{b e ^{- s x} sin ( b x )}{b ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s x} cos ( b x )}{b ^{2} + s ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{b e ^{- s x} sin ( b x )}{b ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s x} cos ( b x )}{b ^{2} + s ^{2}} + C