integral of (sqrt(5-θ^2))/(θ^2)

Lösung

\int \frac{5 - θ ^{2}}{θ ^{2}} d θ

- arcsin (\frac{1}{5} θ) - \frac{5 - θ ^{2}}{θ} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{5 - θ ^{2}}{θ ^{2}} d θ

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int cot^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int - 1 + csc^{2} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int 1 d u + \int csc^{2} (u) d u

\int 1 d u = u

\int csc^{2} (u) d u = - cot (u)

= - u - cot (u)

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{5} θ)

ein

= - arcsin (\frac{1}{5} θ) - cot (arcsin (\frac{1}{5} θ))

Vereinfache

- arcsin (\frac{1}{5} θ) - cot (arcsin (\frac{1}{5} θ)) : - arcsin (\frac{1}{5} θ) - \frac{5 - θ ^{2}}{θ}

= - arcsin (\frac{1}{5} θ) - \frac{5 - θ ^{2}}{θ}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - arcsin (\frac{1}{5} θ) - \frac{5 - θ ^{2}}{θ} + C