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integral of 4/(x(x^2+4))

Lösung

\int \frac{4}{x ( x ^{2} + 4 )} d x

Lösung

ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln x^{2} + 4 + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{4}{x ( x ^{2} + 4 )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{1}{x ( x ^{2} + 4 )} d x

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{x ( x ^{2} + 4 )} : \frac{1}{4 x} - \frac{x}{4 ( x ^{2} + 4 )}

= 4 \cdot \int \frac{1}{4 x} - \frac{x}{4 ( x ^{2} + 4 )} d x

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 (\int \frac{1}{4 x} d x - \int \frac{x}{4 ( x ^{2} + 4 )} d x)

\int \frac{1}{4 x} d x = \frac{1}{4} ln ∣ x ∣

\int \frac{x}{4 ( x ^{2} + 4 )} d x = \frac{1}{8} ln x^{2} + 4

= 4 (\frac{1}{4} ln ∣ x ∣ - \frac{1}{8} ln x^{2} + 4)

Vereinfache

4 (\frac{1}{4} ln ∣ x ∣ - \frac{1}{8} ln x^{2} + 4) : ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln x^{2} + 4

= ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln x^{2} + 4

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln x^{2} + 4 + C

Graph

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