integral of tan(x)(sec(x)-tan(x))

Lời Giải

\int tan (x) (sec (x) - tan (x)) d x

4 (\frac{1}{2} arctan (tan (\frac{x}{2})) + \frac{1}{2 ( tan ( \frac{x}{2} ) + 1 )}) + C

Các bước giải pháp

\int tan (x) (sec (x) - tan (x)) d x

Viết lại bằng cách sử dụng hằng đẳng thức lượng giác

= \int \frac{sin ( x ) ( 1 - sin ( x ) )}{cos ^{2} ( x )} d x

Viết lại bằng cách sử dụng hằng đẳng thức lượng giác

= \int \frac{1}{1 + csc ( x )} d x

Áp dụng Phép đổi biến tích phân

= \int \frac{4 u}{( 2 u + 1 + u ^{2} ) ( 1 + u ^{2} )} d u

Đưa hằng số ra ngoài:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{u}{( 2 u + 1 + u ^{2} ) ( 1 + u ^{2} )} d u

Áp dụng tích phân từng phần

= 4 (u (\frac{1}{2} ln ∣ u + 1 ∣ - \frac{1}{2 ( u + 1 )} - \frac{1}{4} ln u^{2} + 1) - \int \frac{1}{2} ln ∣ u + 1 ∣ - \frac{1}{2 ( u + 1 )} - \frac{1}{4} ln u^{2} + 1 d u)

\int \frac{1}{2} ln ∣ u + 1 ∣ - \frac{1}{2 ( u + 1 )} - \frac{1}{4} ln u^{2} + 1 d u = \frac{1}{2} u ln ∣ u + 1 ∣ - \frac{u}{2 ( u + 1 )} - \frac{1}{4} u ln u^{2} + 1 - \frac{1}{2 ( u + 1 )} - \frac{1}{2} arctan (u)

= 4 (u (\frac{1}{2} ln ∣ u + 1 ∣ - \frac{1}{2 ( u + 1 )} - \frac{1}{4} ln u^{2} + 1) - (\frac{1}{2} u ln ∣ u + 1 ∣ - \frac{u}{2 ( u + 1 )} - \frac{1}{4} u ln u^{2} + 1 - \frac{1}{2 ( u + 1 )} - \frac{1}{2} arctan (u)))

Thay thế lại

u = tan (\frac{x}{2})

= 4 (tan (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} ln tan (\frac{x}{2}) + 1 - \frac{1}{2 ( tan ( \frac{x}{2} ) + 1 )} - \frac{1}{4} ln tan^{2} (\frac{x}{2}) + 1) - (\frac{1}{2} tan (\frac{x}{2}) ln tan (\frac{x}{2}) + 1 - \frac{tan ( \frac{x}{2} )}{2 ( tan ( \frac{x}{2} ) + 1 )} - \frac{1}{4} tan (\frac{x}{2}) ln tan^{2} (\frac{x}{2}) + 1 - \frac{1}{2 ( tan ( \frac{x}{2} ) + 1 )} - \frac{1}{2} arctan (tan (\frac{x}{2}))))

Rút gọn

4 (tan (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} ln tan (\frac{x}{2}) + 1 - \frac{1}{2 ( tan ( \frac{x}{2} ) + 1 )} - \frac{1}{4} ln tan^{2} (\frac{x}{2}) + 1) - (\frac{1}{2} tan (\frac{x}{2}) ln tan (\frac{x}{2}) + 1 - \frac{tan ( \frac{x}{2} )}{2 ( tan ( \frac{x}{2} ) + 1 )} - \frac{1}{4} tan (\frac{x}{2}) ln tan^{2} (\frac{x}{2}) + 1 - \frac{1}{2 ( tan ( \frac{x}{2} ) + 1 )} - \frac{1}{2} arctan (tan (\frac{x}{2})))) : 4 (\frac{1}{2} arctan (tan (\frac{x}{2})) + \frac{1}{2 ( tan ( \frac{x}{2} ) + 1 )})

= 4 (\frac{1}{2} arctan (tan (\frac{x}{2})) + \frac{1}{2 ( tan ( \frac{x}{2} ) + 1 )})

Thêm một hằng số vào Lời giải

= 4 (\frac{1}{2} arctan (tan (\frac{x}{2})) + \frac{1}{2 ( tan ( \frac{x}{2} ) + 1 )}) + C