What is the integral of (x^2+x+1)*e^{3x} ?

The integral of (x^2+x+1)*e^{3x} is 1/3 e^{3x}x^2+1/9 e^{3x}x+8/27 e^{3x}+C

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

integral of (x^2+x+1)*e^{3x}

\int (x^{2} + x + 1) \cdot e^{3 x} d x

\frac{1}{3} e^{3 x} x^{2} + \frac{1}{9} e^{3 x} x + \frac{8}{27} e^{3 x} + C

Solution steps

\int (x^{2} + x + 1) e^{3 x} d x

Expand

(x^{2} + x + 1) e^{3 x} : e^{3 x} x^{2} + e^{3 x} x + e^{3 x}

= \int e^{3 x} x^{2} + e^{3 x} x + e^{3 x} d x

Apply the Sum Rule:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{3 x} x^{2} d x + \int e^{3 x} x d x + \int e^{3 x} d x

\int e^{3 x} x^{2} d x = \frac{1}{3} e^{3 x} x^{2} - \frac{2}{27} (3 e^{3 x} x - e^{3 x})

\int e^{3 x} x d x = \frac{1}{9} (e^{3 x} \cdot 3 x - e^{3 x})

\int e^{3 x} d x = \frac{1}{3} e^{3 x}

= \frac{1}{3} e^{3 x} x^{2} - \frac{2}{27} (3 e^{3 x} x - e^{3 x}) + \frac{1}{9} (e^{3 x} \cdot 3 x - e^{3 x}) + \frac{1}{3} e^{3 x}

Simplify

\frac{1}{3} e^{3 x} x^{2} - \frac{2}{27} (3 e^{3 x} x - e^{3 x}) + \frac{1}{9} (e^{3 x} \cdot 3 x - e^{3 x}) + \frac{1}{3} e^{3 x} : \frac{1}{3} e^{3 x} x^{2} + \frac{1}{9} e^{3 x} x + \frac{8}{27} e^{3 x}

= \frac{1}{3} e^{3 x} x^{2} + \frac{1}{9} e^{3 x} x + \frac{8}{27} e^{3 x}

Add a constant to the solution

= \frac{1}{3} e^{3 x} x^{2} + \frac{1}{9} e^{3 x} x + \frac{8}{27} e^{3 x} + C

What is the integral of (x^2+x+1)*e^{3x} ?
The integral of (x^2+x+1)*e^{3x} is 1/3 e^{3x}x^2+1/9 e^{3x}x+8/27 e^{3x}+C