integral of (a^2)/(sqrt(4a-a^2))

Lösung

\int \frac{a ^{2}}{4 a - a ^{2}} d a

6 arcsin (\frac{1}{2} a - 1) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} a - 1)) - 4 - a^{2} + 4 a + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{a ^{2}}{4 a - a ^{2}} d a

Vervollständige das Quadrat

4 a - a^{2} : - (a - 2)^{2} + 4

= \int \frac{a ^{2}}{- ( a - 2 ) ^{2} + 4} d a

Wende U-Substitution an

= \int \frac{( u + 2 ) ^{2}}{- u ^{2} + 4} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int (2 sin (v) + 2)^{2} d v

Multipliziere aus

(2 sin (v) + 2)^{2} : 4 sin^{2} (v) + 8 sin (v) + 4

= \int 4 sin^{2} (v) + 8 sin (v) + 4 d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 4 sin^{2} (v) d v + \int 8 sin (v) d v + \int 4 d v

\int 4 sin^{2} (v) d v = 2 v - sin (2 v)

\int 8 sin (v) d v = - 8 cos (v)

\int 4 d v = 4 v

= 2 v - sin (2 v) - 8 cos (v) + 4 v

Ersetze zurück

= 2 arcsin (\frac{1}{2} (a - 2)) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} (a - 2))) - 8 cos (arcsin (\frac{1}{2} (a - 2))) + 4 arcsin (\frac{1}{2} (a - 2))

Vereinfache

2 arcsin (\frac{1}{2} (a - 2)) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} (a - 2))) - 8 cos (arcsin (\frac{1}{2} (a - 2))) + 4 arcsin (\frac{1}{2} (a - 2)) : 6 arcsin (\frac{1}{2} a - 1) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} a - 1)) - 4 - a^{2} + 4 a

= 6 arcsin (\frac{1}{2} a - 1) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} a - 1)) - 4 - a^{2} + 4 a

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 6 arcsin (\frac{1}{2} a - 1) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} a - 1)) - 4 - a^{2} + 4 a + C

\int 2 3 x^{4} d x

\int \frac{2}{4 + 2 x} d x

\int \frac{x}{( 4 x ^{2} + 9 ) ^{2}} d x

\int \frac{8 x}{x ^{2} + 2} d x

\int (3 sin (x) - 4 cos (x)) d x