integral of 1/(y^3-1)

Lösung

\int \frac{1}{y ^{3} - 1} d y

\frac{1}{3} ln ∣ y - 1 ∣ - \frac{1}{6} ln 4 y^{2} + 4 y + 4 - \frac{1}{3} arctan (\frac{1}{3} (2 y + 1)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{y ^{3} - 1} d y

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{y ^{3} - 1} : \frac{1}{3 ( y - 1 )} + \frac{- y - 2}{3 ( y ^{2} + y + 1 )}

= \int \frac{1}{3 ( y - 1 )} + \frac{- y - 2}{3 ( y ^{2} + y + 1 )} d y

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{3 ( y - 1 )} d y + \int \frac{- y - 2}{3 ( y ^{2} + y + 1 )} d y

\int \frac{1}{3 ( y - 1 )} d y = \frac{1}{3} ln ∣ y - 1 ∣

\int \frac{- y - 2}{3 ( y ^{2} + y + 1 )} d y = \frac{1}{6 3} (- 3 ln 4 y^{2} + 4 y + 4 - 6 arctan (\frac{2 y + 1}{3}))

= \frac{1}{3} ln ∣ y - 1 ∣ + \frac{1}{6 3} (- 3 ln 4 y^{2} + 4 y + 4 - 6 arctan (\frac{2 y + 1}{3}))

Vereinfache

\frac{1}{3} ln ∣ y - 1 ∣ + \frac{1}{6 3} (- 3 ln 4 y^{2} + 4 y + 4 - 6 arctan (\frac{2 y + 1}{3})) : \frac{1}{3} ln ∣ y - 1 ∣ - \frac{1}{6} ln 4 y^{2} + 4 y + 4 - \frac{1}{3} arctan (\frac{1}{3} (2 y + 1))

= \frac{1}{3} ln ∣ y - 1 ∣ - \frac{1}{6} ln 4 y^{2} + 4 y + 4 - \frac{1}{3} arctan (\frac{1}{3} (2 y + 1))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{3} ln ∣ y - 1 ∣ - \frac{1}{6} ln 4 y^{2} + 4 y + 4 - \frac{1}{3} arctan (\frac{1}{3} (2 y + 1)) + C

\int \frac{x}{x ^{2} + a} d x

\int (5 + 4 x)^{100} d x

\int \frac{x ^{2} + 2}{2 x} d x

\int \frac{1}{8 y - 5} d y

\int (x + 1) 8^{(x + 1)^{2}} d x