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integral of (1-e^{3x})^2

解答

\int (1 - e^{3 x})^{2} d x

解答

\frac{1}{6} (e^{6 x} - 4 e^{3 x} + 6 x) + C

求解步骤

\int (1 - e^{3 x})^{2} d x

使用换元积分法

= \int - \frac{u ^{2}}{3 ( - u + 1 )} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{3} \cdot \int \frac{u ^{2}}{- u + 1} d u

使用换元积分法

= - \frac{1}{3} \cdot \int - \frac{( - v + 1 ) ^{2}}{v} d v

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{3} (- \int \frac{( - v + 1 ) ^{2}}{v} d v)

乘开

\frac{( - v + 1 ) ^{2}}{v} : v - 2 + \frac{1}{v}

= - \frac{1}{3} (- \int v - 2 + \frac{1}{v} d v)

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \frac{1}{3} (- (\int v d v - \int 2 d v + \int \frac{1}{v} d v))

\int v d v = \frac{v ^{2}}{2}

\int 2 d v = 2 v

\int \frac{1}{v} d v = ln ∣ v ∣

= - \frac{1}{3} (- (\frac{v ^{2}}{2} - 2 v + ln ∣ v ∣))

代回

= - \frac{1}{3} (- (\frac{( - ( 1 - e ^{3 x} ) + 1 ) ^{2}}{2} - 2 (- (1 - e^{3 x}) + 1) + ln - (1 - e^{3 x}) + 1))

化简

- \frac{1}{3} (- (\frac{( - ( 1 - e ^{3 x} ) + 1 ) ^{2}}{2} - 2 (- (1 - e^{3 x}) + 1) + ln - (1 - e^{3 x}) + 1)) : \frac{1}{6} (e^{6 x} - 4 e^{3 x} + 6 x)

= \frac{1}{6} (e^{6 x} - 4 e^{3 x} + 6 x)

解答补常数

= \frac{1}{6} (e^{6 x} - 4 e^{3 x} + 6 x) + C

作图

流行的例子

integral of 1/((sqrt(x^2+5))^3)

integral of (2+x)/(x^2+4)

integral of ln(x/y)

integral of x*cos^2(6*x)

integral of cos(xy)-xysin(xy)