integral of 3/(2cos(x)+1)

Lösung

\int \frac{3}{2 cos ( x ) + 1} d x

3 ln \frac{1}{3} tan (\frac{x}{2}) + 1 - 3 ln \frac{1}{3} tan (\frac{x}{2}) - 1 + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{3}{2 cos ( x ) + 1} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{1}{2 cos ( x ) + 1} d x

Wende U-Substitution an

= 3 \cdot \int \frac{2}{- u ^{2} + 3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{- u ^{2} + 3} d u

Wende integrale Substitution an

= 3 \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{3 ( - v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2})

Ersetze zurück

= 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} )}{3} + 1}{2} - \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} )}{3} - 1}{2}

Vereinfache

3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} )}{3} + 1}{2} - \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} )}{3} - 1}{2} : 3 ln \frac{1}{3} tan (\frac{x}{2}) + 1 - 3 ln \frac{1}{3} tan (\frac{x}{2}) - 1

= 3 ln \frac{1}{3} tan (\frac{x}{2}) + 1 - 3 ln \frac{1}{3} tan (\frac{x}{2}) - 1

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 3 ln \frac{1}{3} tan (\frac{x}{2}) + 1 - 3 ln \frac{1}{3} tan (\frac{x}{2}) - 1 + C