integral of (2tan(x))/(cos(2x))

Lösung

\int \frac{2 tan ( x )}{cos ( 2 x )} d x

- ln 1 - tan^{2} (x) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2 tan ( x )}{cos ( 2 x )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{tan ( x )}{cos ( 2 x )} d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{tan ( \frac{u}{2} )}{2 cos ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{tan ( \frac{u}{2} )}{cos ( u )} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2 v}{1 - v ^{2}} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{v}{1 - v ^{2}} d v

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int - \frac{1}{2 w} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 (- \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{w} d w)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{w} d w = ln (∣ w ∣)

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 (- \frac{1}{2} ln ∣ w ∣)

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 (- \frac{1}{2} ln 1 - tan^{2} (\frac{2 x}{2}))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 (- \frac{1}{2} ln 1 - tan^{2} (\frac{2 x}{2})) : - ln 1 - tan^{2} (x)

= - ln 1 - tan^{2} (x)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - ln 1 - tan^{2} (x) + C