integral of sqrt(3x^2-1)

Lösung

\int 3 x^{2} - 1 d x

\frac{1}{2} x 3 x^{2} - 1 - \frac{1}{2 3} ln 3 x + 3 x^{2} - 1 + C

Schritte zur Lösung

\int 3 x^{2} - 1 d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{3} tan^{2} (u) sec (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int tan^{2} (u) sec (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{3} \cdot \int (- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) d u

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) : - sec (u) + sec^{3} (u)

= \frac{1}{3} \cdot \int - sec (u) + sec^{3} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{3} (- \int sec (u) d u + \int sec^{3} (u) d u)

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int sec^{3} (u) d u = \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= \frac{1}{3} (- ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ + \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

Setze in

u = arcsec (3 x)

ein

= \frac{1}{3} (- ln tan (arcsec (3 x)) + sec (arcsec (3 x)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (3 x)) tan (arcsec (3 x)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (3 x)) + sec (arcsec (3 x)))

Vereinfache

\frac{1}{3} (- ln tan (arcsec (3 x)) + sec (arcsec (3 x)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (3 x)) tan (arcsec (3 x)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (3 x)) + sec (arcsec (3 x))) : \frac{1}{2} x 3 x^{2} - 1 - \frac{1}{2 3} ln 3 x + 3 x^{2} - 1

= \frac{1}{2} x 3 x^{2} - 1 - \frac{1}{2 3} ln 3 x + 3 x^{2} - 1

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} x 3 x^{2} - 1 - \frac{1}{2 3} ln 3 x + 3 x^{2} - 1 + C

\int \frac{7 x ^{6} + 4 x ^{3}}{( x ^{7} + x ^{4} ) ^{3}} d x

\int \frac{1}{( 2 y - 3 )} d y

\int \frac{x ^{3}}{4 4 + x ^{2}} d x

\int x^{3} \cdot cos (2 x) d x

\int (e^{2 x} - 2 x) d x