integral of 8/(x^2+14x+53)

Lösung

\int \frac{8}{x ^{2} + 14 x + 53} d x

4 arctan (\frac{1}{2} (x + 7)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{8}{x ^{2} + 14 x + 53} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \int \frac{1}{x ^{2} + 14 x + 53} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} + 14 x + 53 : (x + 7)^{2} + 4

= 8 \cdot \int \frac{1}{( x + 7 ) ^{2} + 4} d x

Wende U-Substitution an

= 8 \cdot \int \frac{1}{u ^{2} + 4} d u

Wende integrale Substitution an

= 8 \cdot \int \frac{1}{2 ( v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= 8 \cdot \frac{1}{2} arctan (v)

Ersetze zurück

= 8 \cdot \frac{1}{2} arctan (\frac{x + 7}{2})

Vereinfache

8 \cdot \frac{1}{2} arctan (\frac{x + 7}{2}) : 4 arctan (\frac{1}{2} (x + 7))

= 4 arctan (\frac{1}{2} (x + 7))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 4 arctan (\frac{1}{2} (x + 7)) + C