integral of (x+1)/(sqrt(2x)+1)

Lösung

\int \frac{x + 1}{2 x + 1} d x

\frac{1}{12} (- 18 x + 122 x + 2 (2 x + 1)^{3} - 18 ln 2 x + 1 + 21) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x + 1}{2 x + 1} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u + 2}{4 ( u + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{u + 2}{u + 1} d u

Multipliziere aus

\frac{u + 2}{u + 1} : \frac{u}{u + 1} + \frac{2}{u + 1}

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{4} (\int \frac{u}{u + 1} d u + \int \frac{2}{u + 1} d u)

\int \frac{u}{u + 1} d u = - 3 u + \frac{2}{3} (u + 1)^{3} - 2 ln u + 1 + 3

\int \frac{2}{u + 1} d u = 4 (u + 1 - ln u + 1)

= \frac{1}{4} (- 3 u + \frac{2}{3} (u + 1)^{3} - 2 ln u + 1 + 3 + 4 (u + 1 - ln u + 1))

Setze in

u = 2 x

ein

= \frac{1}{4} (- 3 \cdot 2 x + \frac{2}{3} (2 x + 1)^{3} - 2 ln 2 x + 1 + 3 + 4 (2 x + 1 - ln 2 x + 1))

Vereinfache

\frac{1}{4} (- 3 \cdot 2 x + \frac{2}{3} (2 x + 1)^{3} - 2 ln 2 x + 1 + 3 + 4 (2 x + 1 - ln 2 x + 1)) : \frac{1}{12} (- 18 x + 122 x + 2 (2 x + 1)^{3} - 18 ln 2 x + 1 + 21)

= \frac{1}{12} (- 18 x + 122 x + 2 (2 x + 1)^{3} - 18 ln 2 x + 1 + 21)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{12} (- 18 x + 122 x + 2 (2 x + 1)^{3} - 18 ln 2 x + 1 + 21) + C