integral of cosh(x)cosh(3x)

解

\int cosh (x) cosh (3 x) d x

\frac{1}{4} (- \frac{1}{4} e^{- 4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{4 x}) + C

解答ステップ

\int cosh (x) cosh (3 x) d x

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1}{4} (e^{- x} + e^{x}) (e^{- 3 x} + e^{3 x}) d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \int (e^{- x} + e^{x}) (e^{- 3 x} + e^{3 x}) d x

拡張

(e^{- x} + e^{x}) (e^{- 3 x} + e^{3 x}) : e^{- 4 x} + e^{2 x} + e^{- 2 x} + e^{4 x}

= \frac{1}{4} \cdot \int e^{- 4 x} + e^{2 x} + e^{- 2 x} + e^{4 x} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{4} (\int e^{- 4 x} d x + \int e^{2 x} d x + \int e^{- 2 x} d x + \int e^{4 x} d x)

\int e^{- 4 x} d x = - \frac{1}{4} e^{- 4 x}

\int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x}

\int e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} e^{- 2 x}

\int e^{4 x} d x = \frac{1}{4} e^{4 x}

= \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} e^{- 4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{4 x})

定数を解答に追加する

= \frac{1}{4} (- \frac{1}{4} e^{- 4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + \frac{1}{4} e^{4 x}) + C