integral de (x^2)/(sqrt((x^2+1)^3))

Solução

\int \frac{x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{3}} d x

ln x + 1 + x^{2} - \frac{x}{1 + x ^{2}} + C

Passos da solução

\int \frac{x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{3}} d x

(x^{2} + 1)^{3} = (x^{2} + 1)^{\frac{3}{2}},

assumindo que

(x^{2} + 1) \geq 0

= \int \frac{x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Aplicar integração por substituição trigonométrica

= \int tan^{2} (u) cos (u) d u

Simplificar

tan^{2} (u) cos (u) : sin (u) tan (u)

= \int sin (u) tan (u) d u

Reeecreva usando identidades trigonométricas

= \int \frac{1 - cos ^{2} ( u )}{cos ( u )} d u

Expandir

\frac{1 - cos ^{2} ( u )}{cos ( u )} : \frac{1}{cos ( u )} - cos (u)

= \int \frac{1}{cos ( u )} - cos (u) d u

Aplicar a regra da soma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{cos ( u )} d u - \int cos (u) d u

\int \frac{1}{cos ( u )} d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int cos (u) d u = sin (u)

= ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ - sin (u)

Substituir na equação

u = arctan (x)

= ln ∣ tan (arctan (x)) + sec (arctan (x)) ∣ - sin (arctan (x))

Simplificar

ln ∣ tan (arctan (x)) + sec (arctan (x)) ∣ - sin (arctan (x)) : ln x + 1 + x^{2} - \frac{x}{1 + x ^{2}}

= ln x + 1 + x^{2} - \frac{x}{1 + x ^{2}}

Adicionar uma constante à solução

= ln x + 1 + x^{2} - \frac{x}{1 + x ^{2}} + C