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人気のある微分積分 >

integral of (16x^2)/((x-6)(x+2)^2)

解

\int \frac{16 x ^{2}}{( x - 6 ) ( x + 2 ) ^{2}} d x

解

7 ln ∣ x + 2 ∣ + \frac{8}{x + 2} + 9 ln ∣ x - 6 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{16 x ^{2}}{( x - 6 ) ( x + 2 ) ^{2}} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 16 \cdot \int \frac{x ^{2}}{( x - 6 ) ( x + 2 ) ^{2}} d x

u置換積分法を適用する

= 16 \cdot \int \frac{( u - 2 ) ^{2}}{u ^{2} ( u - 8 )} d u

以下の部分分数を得る:

\frac{( u - 2 ) ^{2}}{u ^{2} ( u - 8 )} : \frac{7}{16 u} - \frac{1}{2 u ^{2}} + \frac{9}{16 ( u - 8 )}

= 16 \cdot \int \frac{7}{16 u} - \frac{1}{2 u ^{2}} + \frac{9}{16 ( u - 8 )} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 16 (\int \frac{7}{16 u} d u - \int \frac{1}{2 u ^{2}} d u + \int \frac{9}{16 ( u - 8 )} d u)

\int \frac{7}{16 u} d u = \frac{7}{16} ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{2 u ^{2}} d u = - \frac{1}{2 u}

\int \frac{9}{16 ( u - 8 )} d u = \frac{9}{16} ln ∣ u - 8 ∣

= 16 (\frac{7}{16} ln ∣ u ∣ - (- \frac{1}{2 u}) + \frac{9}{16} ln ∣ u - 8 ∣)

代用を戻す

u = x + 2

= 16 (\frac{7}{16} ln ∣ x + 2 ∣ - (- \frac{1}{2 ( x + 2 )}) + \frac{9}{16} ln ∣ x + 2 - 8 ∣)

簡素化

16 (\frac{7}{16} ln ∣ x + 2 ∣ - (- \frac{1}{2 ( x + 2 )}) + \frac{9}{16} ln ∣ x + 2 - 8 ∣) : 7 ln ∣ x + 2 ∣ + \frac{8}{x + 2} + 9 ln ∣ x - 6 ∣

= 7 ln ∣ x + 2 ∣ + \frac{8}{x + 2} + 9 ln ∣ x - 6 ∣

定数を解答に追加する

= 7 ln ∣ x + 2 ∣ + \frac{8}{x + 2} + 9 ln ∣ x - 6 ∣ + C

グラフ

人気の例

derivative ((k^2x^3-6kx+9))/(x-1)

integral of x/(2x^2+12x+23)

x(x+y)y^'=y(x-y)

integral of sin(u)cos(u)

f(x)=cos(sqrt(x))