What is the integral of e^x(1+4e^x)^4 ?

The integral of e^x(1+4e^x)^4 is e^x+8e^{2x}+32e^{3x}+64e^{4x}+256/5 e^{5x}+C

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

integral of e^x(1+4e^x)^4

\int e^{x} (1 + 4 e^{x})^{4} d x

e^{x} + 8 e^{2 x} + 32 e^{3 x} + 64 e^{4 x} + \frac{256}{5} e^{5 x} + C

Solution steps

\int e^{x} (1 + 4 e^{x})^{4} d x

Expand

e^{x} (1 + 4 e^{x})^{4} : e^{x} + 16 e^{2 x} + 96 e^{3 x} + 256 e^{4 x} + 256 e^{5 x}

= \int e^{x} + 16 e^{2 x} + 96 e^{3 x} + 256 e^{4 x} + 256 e^{5 x} d x

Apply the Sum Rule:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{x} d x + \int 16 e^{2 x} d x + \int 96 e^{3 x} d x + \int 256 e^{4 x} d x + \int 256 e^{5 x} d x

\int e^{x} d x = e^{x}

\int 16 e^{2 x} d x = 8 e^{2 x}

\int 96 e^{3 x} d x = 32 e^{3 x}

\int 256 e^{4 x} d x = 64 e^{4 x}

\int 256 e^{5 x} d x = \frac{256}{5} e^{5 x}

= e^{x} + 8 e^{2 x} + 32 e^{3 x} + 64 e^{4 x} + \frac{256}{5} e^{5 x}

Add a constant to the solution

= e^{x} + 8 e^{2 x} + 32 e^{3 x} + 64 e^{4 x} + \frac{256}{5} e^{5 x} + C

What is the integral of e^x(1+4e^x)^4 ?
The integral of e^x(1+4e^x)^4 is e^x+8e^{2x}+32e^{3x}+64e^{4x}+256/5 e^{5x}+C