интеграл с 0 до 3 от sqrt(x/(9-x))

Решение

\int_{0}^{3} \frac{x}{9 - x} d x

3 (3 arctan (\frac{1}{2}) - 2)

десятичными цифрами

1.29667 \dots

Шаги решения

\int_{0}^{3} \frac{x}{9 - x} d x

Применить подстановку интеграла

= \int_{9}^{6} - \frac{- u + 9}{u} d u

\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x, a < b

= - \int_{6}^{9} - \frac{- u + 9}{u} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - (- \int_{6}^{9} \frac{- u + 9}{u} d u)

Расширить

\frac{- u + 9}{u} : - 1 + \frac{9}{u}

= - (- \int_{6}^{9} - 1 + \frac{9}{u} d u)

Применить подстановку интеграла

= - (- \int_{\frac{3}{2}}^{1} - \frac{9 v - 1}{v ^{2}} d v)

\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x, a < b

= - (- (- \int_{1}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 v - 1}{v ^{2}} d v))

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - (- (- (- 9 \cdot \int_{1}^{\frac{3}{2}} \frac{v - 1}{v ^{2}} d v)))

Применить интегрирование по частям

= - - - - 9 [\frac{- v - 1 - v \cdot \int - \frac{1}{2 v v - 1} d v}{v}]_{1}^{\frac{3}{2}}

\int - \frac{1}{2 v v - 1} d v = - arctan (v - 1)

= - - - - 9 [\frac{- v - 1 - v ( - arctan ( v - 1 ) )}{v}]_{1}^{\frac{3}{2}}

После упрощения получаем

= 9 [\frac{- v - 1 + v arctan ( v - 1 )}{v}]_{1}^{\frac{3}{2}}

Вычислить границы:

\frac{3 arctan ( \frac{1}{2} ) - 2}{3}

= 9 \cdot \frac{3 arctan ( \frac{1}{2} ) - 2}{3}

После упрощения получаем

= 3 (3 arctan (\frac{1}{2}) - 2)