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inverselaplace 1/(S(S^2+4S+1))

Lösung

inverse laplace transformation

\frac{1}{S \cdot ( S ^{2} + 4 \cdot S + 1 )}

Lösung

H (t) - e^{- 2 t} cosh (3 t) - \frac{2}{3} e^{- 2 t} sinh (3 t)

Schritte zur Lösung

L^{- 1} {\frac{1}{S ( S ^{2} + 4 S + 1 )}}

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{S ( S ^{2} + 4 S + 1 )} : \frac{1}{S} + \frac{- S - 4}{S ^{2} + 4 S + 1}

= L^{- 1} {\frac{1}{S} + \frac{- S - 4}{S ^{2} + 4 S + 1}}

Schreibe

\frac{- S - 4}{S ^{2} + 4 S + 1}

um:

- \frac{S + 2}{( S + 2 ) ^{2} - 3} - 2 \cdot \frac{1}{( S + 2 ) ^{2} - 3}

= L^{- 1} {\frac{1}{S} - \frac{S + 2}{( S + 2 ) ^{2} - 3} - 2 \cdot \frac{1}{( S + 2 ) ^{2} - 3}}

Wende die lineare Eigenschaftder inversen Laplace-Transformation an:

Für Funktionen

f (s), g (s)

und Konstanten

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{S}} - L^{- 1} {\frac{S + 2}{( S + 2 ) ^{2} - 3}} - 2 L^{- 1} {\frac{1}{( S + 2 ) ^{2} - 3}}

L^{- 1} {\frac{1}{S}} : H (t)

L^{- 1} {\frac{S + 2}{( S + 2 ) ^{2} - 3}} : e^{- 2 t} cosh (3 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( S + 2 ) ^{2} - 3}} : e^{- 2 t} \frac{1}{3} sinh (3 t)

= H (t) - e^{- 2 t} cosh (3 t) - 2 e^{- 2 t} \frac{1}{3} sinh (3 t)

Fasse

H (t) - e^{- 2 t} cosh (3 t) - 2 e^{- 2 t} \frac{1}{3} sinh (3 t)

zusammen:

H (t) - e^{- 2 t} cosh (3 t) - \frac{2}{3} e^{- 2 t} sinh (3 t)

= H (t) - e^{- 2 t} cosh (3 t) - \frac{2}{3} e^{- 2 t} sinh (3 t)

Beliebte Beispiele

laplacetransform t-3

l a pl a ce t r an s f or m t - 3

derivative (pit)/(12)

d er i v a t i v e \frac{π t}{12}

\int - 6 x d x

(\partial)/(\partial x)(1/(sin(x)))

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{sin ( x )})

(\partial)/(\partial y)(3x-x^2y^2+2x^3y)

\frac{\partial}{\partial y} (3 x - x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y)