integral of (sin^4(sqrt(x)))/(sqrt(x))

Lösung

\int \frac{sin ^{4} ( x )}{x} d x

2 (- \frac{1}{4} sin^{3} (x) cos (x) + \frac{3}{8} (x - \frac{1}{2} sin (2 x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{sin ^{4} ( x )}{x} d x

Wende U-Substitution an

= \int 2 sin^{4} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int sin^{4} (u) d u

Wende integrale Reduktion an

= 2 (- \frac{cos ( u ) sin ^{3} ( u )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \int sin^{2} (u) d u)

\int sin^{2} (u) d u = \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

= 2 (- \frac{cos ( u ) sin ^{3} ( u )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)))

Setze in

u = x

ein

= 2 (- \frac{cos ( x ) sin ^{3} ( x )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} sin (2 x)))

Vereinfache

2 (- \frac{cos ( x ) sin ^{3} ( x )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} sin (2 x))) : 2 (- \frac{1}{4} sin^{3} (x) cos (x) + \frac{3}{8} (x - \frac{1}{2} sin (2 x)))

= 2 (- \frac{1}{4} sin^{3} (x) cos (x) + \frac{3}{8} (x - \frac{1}{2} sin (2 x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 (- \frac{1}{4} sin^{3} (x) cos (x) + \frac{3}{8} (x - \frac{1}{2} sin (2 x))) + C

\int \frac{1 - 2 x}{e ^{2 x}} d x

\frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} sin (2 x))

\int x^{2} e^{x^{3} - 1} d x

x \to \frac{1}{2} lim (10 x^{2} - 9 x + 2)

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x