integral from 0 to b of 1/(x^2-4)

解

\int_{0}^{b} \frac{1}{x ^{2} - 4} d x

- \frac{ln \frac{b}{2} + 1 - ln \frac{b}{2} - 1}{4}

解答ステップ

\int_{0}^{b} \frac{1}{x ^{2} - 4} d x

置換積分法を適用する

= \int_{0}^{\frac{b}{2}} \frac{1}{2 ( u ^{2} - 1 )} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\frac{b}{2}} \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

因数

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\frac{b}{2}} \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \int_{0}^{\frac{b}{2}} \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u)

共通積分を使用する:

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= \frac{1}{2} (- [\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}]_{0}^{\frac{b}{2}})

簡素化

\frac{1}{2} (- [\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}]_{0}^{\frac{b}{2}}) : - \frac{1}{2} [\frac{ln ∣ u + 1 ∣ - ln ∣ u - 1 ∣}{2}]_{0}^{\frac{b}{2}}

= - \frac{1}{2} [\frac{ln ∣ u + 1 ∣ - ln ∣ u - 1 ∣}{2}]_{0}^{\frac{b}{2}}

限度を計算する:

\frac{ln \frac{b}{2} + 1 - ln \frac{b}{2} - 1}{2}

= - \frac{1}{2} \cdot \frac{ln \frac{b}{2} + 1 - ln \frac{b}{2} - 1}{2}

簡素化

= - \frac{ln \frac{b}{2} + 1 - ln \frac{b}{2} - 1}{4}