integral from l to u of tre^{-t*r}

解答

\int_{l}^{u} t \cdot r \cdot e^{- t \cdot r} d t

\frac{- u r e ^{- u r} - e ^{- u r} + l r e ^{- l r} + e ^{- l r}}{r}

求解步骤

\int_{l}^{u} t r e^{- t r} d t

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= r \cdot \int_{l}^{u} e^{- r t} t d t

使用换元积分法

= r \cdot \int_{- r l}^{- r u} \frac{e ^{v} v}{r ^{2}} d v

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= r \frac{1}{r ^{2}} \cdot \int_{- r l}^{- r u} e^{v} v d v

使用分布积分法

= r \frac{1}{r ^{2}} [e^{v} v - \int e^{v} d v]_{- l r}^{- u r}

\int e^{v} d v = e^{v}

= r \frac{1}{r ^{2}} [e^{v} v - e^{v}]_{- l r}^{- u r}

化简

r \frac{1}{r ^{2}} [e^{v} v - e^{v}]_{- l r}^{- u r} : \frac{[ e ^{v} v - e ^{v} ] _{- l r}^{- u r}}{r}

= \frac{[ e ^{v} v - e ^{v} ] _{- l r}^{- u r}}{r}

带入上下限计算后得:

- u r e^{- u r} - e^{- u r} + l r e^{- l r} + e^{- l r}

= \frac{- u r e ^{- u r} - e ^{- u r} + l r e ^{- l r} + e ^{- l r}}{r}