integral of 1/(sqrt(x^2-ax))

Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} - a x} d x

2 ln \frac{x - a}{a} + \frac{x}{a} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} - a x} d x

Faktorisiere

\frac{1}{x ^{2} - a x}

= \int \frac{1}{x ( x - a )} d x

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

x (x - a) = x (x - a)

= \int \frac{1}{x x - a} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2}{u ^{2} + a} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{u ^{2} + a} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= 2 \cdot \int sec (v) d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= 2 ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

Ersetze zurück

= 2 ln tan (arctan (\frac{1}{a} x - a)) + sec (arctan (\frac{1}{a} x - a))

Vereinfache

2 ln tan (arctan (\frac{1}{a} x - a)) + sec (arctan (\frac{1}{a} x - a)) : 2 ln \frac{x - a}{a} + \frac{x}{a}

= 2 ln \frac{x - a}{a} + \frac{x}{a}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 ln \frac{x - a}{a} + \frac{x}{a} + C

\int (x^{3} + x^{2} - 1) d x

\int \frac{x - 3}{4 - 9 x ^{2}} d x

\int \frac{x ^{2} - 3}{x ^{3} + 5 x} d x

\int y^{3} e^{- 2 y} d y

\int (6 x^{3} + 5 x)^{12} d x