integral of (3x+7)/(x^2+2x-15)

Lösung

\int \frac{3 x + 7}{x ^{2} + 2 x - 15} d x

\frac{3}{2} ln \frac{1}{16} (x + 1)^{2} - 1 - \frac{1}{2} ln \frac{1}{4} (x + 1) + 1 + \frac{1}{2} ln \frac{1}{4} (x + 1) - 1 + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{3 x + 7}{x ^{2} + 2 x - 15} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} + 2 x - 15 : (x + 1)^{2} - 16

= \int \frac{3 x + 7}{( x + 1 ) ^{2} - 16} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{3 u + 4}{u ^{2} - 16} d u

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{3 v + 1}{v ^{2} - 1} d v

Multipliziere aus

\frac{3 v + 1}{v ^{2} - 1} : \frac{3 v}{v ^{2} - 1} + \frac{1}{v ^{2} - 1}

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{3 v}{v ^{2} - 1} d v + \int \frac{1}{v ^{2} - 1} d v

\int \frac{3 v}{v ^{2} - 1} d v = \frac{3}{2} ln v^{2} - 1

\int \frac{1}{v ^{2} - 1} d v = - \frac{1}{2} ln ∣ v + 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ v - 1 ∣

= \frac{3}{2} ln v^{2} - 1 - \frac{1}{2} ln ∣ v + 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ v - 1 ∣

Ersetze zurück

= \frac{3}{2} ln (\frac{x + 1}{4})^{2} - 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x + 1}{4} + 1 + \frac{1}{2} ln \frac{x + 1}{4} - 1

Vereinfache

\frac{3}{2} ln (\frac{x + 1}{4})^{2} - 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x + 1}{4} + 1 + \frac{1}{2} ln \frac{x + 1}{4} - 1 : \frac{3}{2} ln \frac{1}{16} (x + 1)^{2} - 1 - \frac{1}{2} ln \frac{1}{4} (x + 1) + 1 + \frac{1}{2} ln \frac{1}{4} (x + 1) - 1

= \frac{3}{2} ln \frac{1}{16} (x + 1)^{2} - 1 - \frac{1}{2} ln \frac{1}{4} (x + 1) + 1 + \frac{1}{2} ln \frac{1}{4} (x + 1) - 1

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{3}{2} ln \frac{1}{16} (x + 1)^{2} - 1 - \frac{1}{2} ln \frac{1}{4} (x + 1) + 1 + \frac{1}{2} ln \frac{1}{4} (x + 1) - 1 + C

\int tan^{2} (x) sec^{5} (x) d x

\int (e^{2 x} + 1)^{2} d x

\int 1 + sin (y) d y

\int \frac{1}{x 4 x ^{2} + 81} d x

\int 5 x^{5} (x^{3} + 2)^{15} d x