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integral of (e^{-x}-x)^2

Lösung

\int (e^{- x} - x)^{2} d x

Lösung

- \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x}) + \frac{x ^{3}}{3} + C

Schritte zur Lösung

\int (e^{- x} - x)^{2} d x

- x = (- 1) x

= \int (e^{- x} + (- 1) x)^{2} d x

Faktorisiere

e^{- x} + (- 1) x : - (- e^{- x} - (- 1) x)

= \int (- (- e^{- x} - (- 1) x))^{2} d x

Vereinfache

(- (- e^{- x} - (- 1) x))^{2} : (- e^{- x} + x)^{2}

= \int (- e^{- x} + x)^{2} d x

Wende U-Substitution an

= \int - e^{2 u} - 2 e^{u} u - u^{2} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int e^{2 u} d u - \int 2 e^{u} u d u - \int u^{2} d u

\int e^{2 u} d u = \frac{1}{2} e^{2 u}

\int 2 e^{u} u d u = 2 (e^{u} u - e^{u})

\int u^{2} d u = \frac{u ^{3}}{3}

= - \frac{1}{2} e^{2 u} - 2 (e^{u} u - e^{u}) - \frac{u ^{3}}{3}

Setze in

u = - x

ein

= - \frac{1}{2} e^{2 (- x)} - 2 (e^{- x} (- x) - e^{- x}) - \frac{( - x ) ^{3}}{3}

Vereinfache

- \frac{1}{2} e^{2 (- x)} - 2 (e^{- x} (- x) - e^{- x}) - \frac{( - x ) ^{3}}{3} : - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x}) + \frac{x ^{3}}{3}

= - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x}) + \frac{x ^{3}}{3}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x}) + \frac{x ^{3}}{3} + C

Graph

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