integral of 1/3 sin^3(x)cos^3(x)

Lösung

\int \frac{1}{3} sin^{3} (x) cos^{3} (x) d x

\frac{1}{3} (- \frac{cos ^{4} ( x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( x )}{6}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{3} sin^{3} (x) cos^{3} (x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int sin^{3} (x) cos^{3} (x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{3} \cdot \int (1 - cos^{2} (x)) sin (x) cos^{3} (x) d x

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{3} \cdot \int - u^{3} (1 - u^{2}) d u

Multipliziere aus

- u^{3} (1 - u^{2}) : - u^{3} + u^{5}

= \frac{1}{3} \cdot \int - u^{3} + u^{5} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{3} (- \int u^{3} d u + \int u^{5} d u)

\int u^{3} d u = \frac{u ^{4}}{4}

\int u^{5} d u = \frac{u ^{6}}{6}

= \frac{1}{3} (- \frac{u ^{4}}{4} + \frac{u ^{6}}{6})

Setze in

u = cos (x)

ein

= \frac{1}{3} (- \frac{cos ^{4} ( x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( x )}{6})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{3} (- \frac{cos ^{4} ( x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( x )}{6}) + C

\int 2 ln (3 x + 1) d x

\int \frac{e ^{3 l n (x)}}{7 x ^{3}} d x

\int \frac{1}{x ^{2} 9 + 4 x ^{2}} d x

\int \frac{3}{2 - \frac{x}{2}} d x

\int \frac{e ^{4 x}}{e ^{4 x}} d x