integral of x^2*sqrt(1-x^2)

Lösung

\int x^{2} \cdot 1 - x^{2} d x

\frac{1}{8} (arcsin (x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (x))) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} 1 - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1 - cos ( 4 u )}{8} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{8} \cdot \int 1 - cos (4 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{8} (\int 1 d u - \int cos (4 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (4 u) d u = \frac{1}{4} sin (4 u)

= \frac{1}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))

Setze in

u = arcsin (x)

ein

= \frac{1}{8} (arcsin (x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{8} (arcsin (x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (x))) + C

\int (1 + cos^{2} (x)) d x

x \to \infty lim (5 e^{- t} i - \frac{5 t}{t + 7} j + 5 arctan (t k))

\frac{\partial}{\partial x} (x^{2} + y^{2} + 3 x y + 5 x)

x^{2} y^{^{'}} + (2 - y) = 0

\frac{\partial}{\partial y} (2 x e^{- y})