integral from 0 to N of e^{-st}e^{-3t}

解

\int_{0}^{N} e^{- s t} e^{- 3 t} d t

\frac{e ^{- N (s + 3)} - 1}{- s - 3}

解答ステップ

\int_{0}^{N} e^{- s t} e^{- 3 t} d t

因数

e^{- 3 t} e^{- s t} : e^{- t (s + 3)}

= \int_{0}^{N} e^{- t (s + 3)} d t

u置換積分法を適用する

= \int_{0}^{- N (s + 3)} \frac{e ^{u}}{- s - 3} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{- s - 3} \cdot \int_{0}^{- N (s + 3)} e^{u} d u

共通積分を使用する:

\int e^{u} d u = e^{u}

= \frac{1}{- s - 3} [e^{u}]_{0}^{- N (s + 3)}

簡素化

\frac{1}{- s - 3} [e^{u}]_{0}^{- N (s + 3)} : \frac{[ e ^{u} ] _{0}^{- N (s + 3)}}{- s - 3}

= \frac{[ e ^{u} ] _{0}^{- N (s + 3)}}{- s - 3}

限度を計算する:

e^{- N (s + 3)} - 1

= \frac{e ^{- N (s + 3)} - 1}{- s - 3}