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人気のある微分積分 >

integral of 1/(x(a-x))

解

\int \frac{1}{x ( a - x )} d x

解

- \frac{1}{a} (- ln (\frac{∣ x ∣}{∣ a ∣}) + ln \frac{x}{a} - 1) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{x ( a - x )} d x

拡張

x (a - x) : a x - x^{2}

= \int \frac{1}{a x - x ^{2}} d x

因数

a x - x^{2} : - (- a x + x^{2})

= \int \frac{1}{- ( - a x + x ^{2} )} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{- a x + x ^{2}} d x

因数

\frac{1}{- a x + x ^{2}}

= - \int \frac{1}{x ( - a + x )} d x

- a + x = a (- 1 + \frac{x}{a})

= - \int \frac{1}{x a ( - 1 + \frac{x}{a} )} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{a} \cdot \int \frac{1}{x ( - 1 + \frac{x}{a} )} d x

u置換積分法を適用する

= - \frac{1}{a} \cdot \int \frac{1}{u ( u - 1 )} d u

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{u ( u - 1 )} : - \frac{1}{u} + \frac{1}{u - 1}

= - \frac{1}{a} \cdot \int - \frac{1}{u} + \frac{1}{u - 1} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \frac{1}{a} (- \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{u - 1} d u)

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{u - 1} d u = ln ∣ u - 1 ∣

= - \frac{1}{a} (- ln ∣ u ∣ + ln ∣ u - 1 ∣)

代用を戻す

u = \frac{x}{a}

= - \frac{1}{a} (- ln \frac{x}{a} + ln \frac{x}{a} - 1)

絶対規則を適用する:

\frac{a}{b} = \frac{∣ a ∣}{∣ b ∣}

\frac{x}{a} = \frac{∣ x ∣}{∣ a ∣}

= - \frac{1}{a} (- ln (\frac{∣ x ∣}{∣ a ∣}) + ln \frac{x}{a} - 1)

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{a} (- ln (\frac{∣ x ∣}{∣ a ∣}) + ln \frac{x}{a} - 1) + C

グラフ

人気の例

integral of e^{2x}csc(e^{2x})cot(e^{2x})

\int e^{2 x} csc (e^{2 x}) cot (e^{2 x}) d x

integral of (x-1)arcsin(x)

\int (x - 1) arcsin (x) d x

integral of 8ln(2x)

\int 8 ln (2 x) d x

integral of-ysin(z)

\int - y sin (z) d z

integral of (x^3+x+1)/(x^2+3x+2)

\int \frac{x ^{3} + x + 1}{x ^{2} + 3 x + 2} d x