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人気のある微分積分 >

integral of (x^2-2x+1)/(sqrt(x^2-2x+17))

解

\int \frac{x ^{2} - 2 x + 1}{x ^{2} - 2 x + 17} d x

解

16 (- ln (\frac{1}{4} x - 1 + x^{2} - 2 x + 17) + \frac{1}{32} (x - 1) x^{2} - 2 x + 17 + \frac{1}{2} ln (\frac{x - 1 + x ^{2} - 2 x + 17}{4})) + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2} - 2 x + 1}{x ^{2} - 2 x + 17} d x

平方完成する

x^{2} - 2 x + 1 : (x - 1)^{2}

= \int \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2} - 2 x + 17} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{u ^{2}}{u ^{2} + 16} d u

三角関数による置換を適用する

= \int 16 tan^{2} (v) sec (v) d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 16 \cdot \int tan^{2} (v) sec (v) d v

三角関数の公式を使用して書き換える

= 16 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) d v

拡張

(- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) : - sec (v) + sec^{3} (v)

= 16 \cdot \int - sec (v) + sec^{3} (v) d v

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 16 (- \int sec (v) d v + \int sec^{3} (v) d v)

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

\int sec^{3} (v) d v = \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= 16 (- ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣ + \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣)

代用を戻す

= 16 (- ln tan (arctan (\frac{1}{4} (x - 1))) + sec (arctan (\frac{1}{4} (x - 1))) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{1}{4} (x - 1))) tan (arctan (\frac{1}{4} (x - 1))) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{4} (x - 1))) + sec (arctan (\frac{1}{4} (x - 1))))

簡素化

16 (- ln tan (arctan (\frac{1}{4} (x - 1))) + sec (arctan (\frac{1}{4} (x - 1))) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{1}{4} (x - 1))) tan (arctan (\frac{1}{4} (x - 1))) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{4} (x - 1))) + sec (arctan (\frac{1}{4} (x - 1)))) : 16 (- ln (\frac{1}{4} x - 1 + x^{2} - 2 x + 17) + \frac{1}{32} (x - 1) x^{2} - 2 x + 17 + \frac{1}{2} ln (\frac{x - 1 + x ^{2} - 2 x + 17}{4}))

= 16 (- ln (\frac{1}{4} x - 1 + x^{2} - 2 x + 17) + \frac{1}{32} (x - 1) x^{2} - 2 x + 17 + \frac{1}{2} ln (\frac{x - 1 + x ^{2} - 2 x + 17}{4}))

定数を解答に追加する

= 16 (- ln (\frac{1}{4} x - 1 + x^{2} - 2 x + 17) + \frac{1}{32} (x - 1) x^{2} - 2 x + 17 + \frac{1}{2} ln (\frac{x - 1 + x ^{2} - 2 x + 17}{4})) + C

グラフ

人気の例

integral of y+y

\int y + y d y

integral of (8x^2+5x+77)/((x+1)(x^2+9))

\int \frac{8 x ^{2} + 5 x + 77}{( x + 1 ) ( x ^{2} + 9 )} d x

integral of 1/(cos^3(x)sin(x))

\int \frac{1}{cos ^{3} ( x ) sin ( x )} d x

integral of ((e^{2x}+1)^2)/(e^x)

\int \frac{( e ^{2 x} + 1 ) ^{2}}{e ^{x}} d x

integral of ((1+x)^2)/(x+x^3)

\int \frac{( 1 + x ) ^{2}}{x + x ^{3}} d x