integral of (t^3)/(t^2-4t+4)

解

\int \frac{t ^{3}}{t ^{2} - 4 t + 4} d t

\frac{t ^{2}}{2} + 4 t - \frac{12 t - 16}{t - 2} + 12 ln ∣ t - 2 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{t ^{3}}{t ^{2} - 4 t + 4} d t

長除法

\frac{t ^{3}}{t ^{2} - 4 t + 4} : t + 4 + \frac{12 t - 16}{t ^{2} - 4 t + 4}

= \int t + 4 + \frac{12 t - 16}{t ^{2} - 4 t + 4} d t

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int t d t + \int 4 d t + \int \frac{12 t - 16}{t ^{2} - 4 t + 4} d t

\int t d t = \frac{t ^{2}}{2}

\int 4 d t = 4 t

\int \frac{12 t - 16}{t ^{2} - 4 t + 4} d t = - \frac{12 t - 16}{t - 2} + 12 ln ∣ t - 2 ∣

= \frac{t ^{2}}{2} + 4 t - \frac{12 t - 16}{t - 2} + 12 ln ∣ t - 2 ∣

定数を解答に追加する

= \frac{t ^{2}}{2} + 4 t - \frac{12 t - 16}{t - 2} + 12 ln ∣ t - 2 ∣ + C