What is the integral of (3x^3-2x^2+4x+2)e^{-x} ?

The integral of (3x^3-2x^2+4x+2)e^{-x} is -3e^{-x}x^3-7e^{-x}x^2-18e^{-x}x-20e^{-x}+C

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

integral of (3x^3-2x^2+4x+2)e^{-x}

\int (3 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2) e^{- x} d x

- 3 e^{- x} x^{3} - 7 e^{- x} x^{2} - 18 e^{- x} x - 20 e^{- x} + C

Solution steps

\int (3 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2) e^{- x} d x

Expand

(3 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2) e^{- x} : 3 e^{- x} x^{3} - 2 e^{- x} x^{2} + 4 e^{- x} x + 2 e^{- x}

= \int 3 e^{- x} x^{3} - 2 e^{- x} x^{2} + 4 e^{- x} x + 2 e^{- x} d x

Apply the Sum Rule:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 3 e^{- x} x^{3} d x - \int 2 e^{- x} x^{2} d x + \int 4 e^{- x} x d x + \int 2 e^{- x} d x

\int 3 e^{- x} x^{3} d x = 3 (- e^{- x} x^{3} - 3 (e^{- x} x^{2} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x})))

\int 2 e^{- x} x^{2} d x = 2 (- e^{- x} x^{2} + 2 (- e^{- x} x - e^{- x}))

\int 4 e^{- x} x d x = 4 (- e^{- x} x - e^{- x})

\int 2 e^{- x} d x = - 2 e^{- x}

= 3 (- e^{- x} x^{3} - 3 (e^{- x} x^{2} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x}))) - 2 (- e^{- x} x^{2} + 2 (- e^{- x} x - e^{- x})) + 4 (- e^{- x} x - e^{- x}) - 2 e^{- x}

Simplify

3 (- e^{- x} x^{3} - 3 (e^{- x} x^{2} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x}))) - 2 (- e^{- x} x^{2} + 2 (- e^{- x} x - e^{- x})) + 4 (- e^{- x} x - e^{- x}) - 2 e^{- x} : - 3 e^{- x} x^{3} - 7 e^{- x} x^{2} - 18 e^{- x} x - 20 e^{- x}

= - 3 e^{- x} x^{3} - 7 e^{- x} x^{2} - 18 e^{- x} x - 20 e^{- x}

Add a constant to the solution

= - 3 e^{- x} x^{3} - 7 e^{- x} x^{2} - 18 e^{- x} x - 20 e^{- x} + C

What is the integral of (3x^3-2x^2+4x+2)e^{-x} ?
The integral of (3x^3-2x^2+4x+2)e^{-x} is -3e^{-x}x^3-7e^{-x}x^2-18e^{-x}x-20e^{-x}+C