integral of e^{at}sin(bt)

Lösung

\int e^{a t} sin (b t) d t

- \frac{b e ^{a t} cos ( b t )}{b ^{2} + a ^{2}} + \frac{a e ^{a t} sin ( b t )}{b ^{2} + a ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int e^{a t} sin (b t) d t

Wende die partielle Integration an

= - e^{a t} \frac{1}{b} cos (b t) - \int - a e^{a t} \frac{1}{b} cos (b t) d t

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{a t} \frac{1}{b} cos (b t) - (- a \frac{1}{b} \cdot \int e^{a t} cos (b t) d t)

Vereinfache

- a \frac{1}{b} : - \frac{a}{b}

= - e^{a t} \frac{1}{b} cos (b t) - (- \frac{a}{b} \cdot \int e^{a t} cos (b t) d t)

Wende die partielle Integration an

= - e^{a t} \frac{1}{b} cos (b t) - (- \frac{a}{b} (e^{a t} \frac{1}{b} sin (b t) - \int e^{a t} a \frac{1}{b} sin (b t) d t))

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{a t} \frac{1}{b} cos (b t) - (- \frac{a}{b} (e^{a t} \frac{1}{b} sin (b t) - a \frac{1}{b} \cdot \int e^{a t} sin (b t) d t))

Vereinfache

a \frac{1}{b} : \frac{a}{b}

= - e^{a t} \frac{1}{b} cos (b t) - (- \frac{a}{b} (e^{a t} \frac{1}{b} sin (b t) - \frac{a}{b} \cdot \int e^{a t} sin (b t) d t))

Deshalb

\int e^{a t} sin (b t) d t = - e^{a t} \frac{1}{b} cos (b t) - (- \frac{a}{b} (e^{a t} \frac{1}{b} sin (b t) - \frac{a}{b} \cdot \int e^{a t} sin (b t) d t))

Isoliere

\int e^{a t} sin (b t) d t

= - \frac{b e ^{a t} cos ( b t )}{b ^{2} + a ^{2}} + \frac{a e ^{a t} sin ( b t )}{b ^{2} + a ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{b e ^{a t} cos ( b t )}{b ^{2} + a ^{2}} + \frac{a e ^{a t} sin ( b t )}{b ^{2} + a ^{2}} + C

\int \frac{1}{x 49 + 36 x ^{2}} d x

\int \frac{4 x}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2}} d x

\int 1 + sin (x) cos (x) d x

\int x + \frac{2}{sin ( x )} d x

\int x 4 3 x - 2 d x