integral of pitcos((pit)/2)

Lösung

\int π t cos (\frac{π t}{2}) d t

2 t sin (\frac{π t}{2}) + \frac{4}{π} cos (\frac{π t}{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int π t cos (\frac{π t}{2}) d t

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= π \cdot \int t cos (\frac{π t}{2}) d t

Wende U-Substitution an

= π \cdot \int \frac{4 u cos ( u )}{π ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= π \frac{4}{π ^{2}} \cdot \int u cos (u) d u

Wende die partielle Integration an

= π \frac{4}{π ^{2}} (u sin (u) - \int sin (u) d u)

\int sin (u) d u = - cos (u)

= π \frac{4}{π ^{2}} (u sin (u) - (- cos (u)))

Setze in

u = \frac{π t}{2}

ein

= π \frac{4}{π ^{2}} (\frac{π t}{2} sin (\frac{π t}{2}) - (- cos (\frac{π t}{2})))

Vereinfache

π \frac{4}{π ^{2}} (\frac{π t}{2} sin (\frac{π t}{2}) - (- cos (\frac{π t}{2}))) : 2 t sin (\frac{π t}{2}) + \frac{4}{π} cos (\frac{π t}{2})

= 2 t sin (\frac{π t}{2}) + \frac{4}{π} cos (\frac{π t}{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 t sin (\frac{π t}{2}) + \frac{4}{π} cos (\frac{π t}{2}) + C