интеграл от 2sec^2(4/5 x)

Решение

\int 2 sec^{2} (\frac{4}{5} x) d x

\frac{5}{2} tan (\frac{4 x}{5}) + C

Шаги решения

\int 2 sec^{2} (\frac{4}{5} x) d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int sec^{2} (\frac{4}{5} x) d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= 2 \cdot \int \frac{1}{cos ^{2} ( \frac{4 x}{5} )} d x

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

\frac{1}{cos ( x )} = sec (x)

= 2 \cdot \int sec^{2} (\frac{4 x}{5}) d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= 2 \cdot \int 1 + tan^{2} (\frac{4 x}{5}) d x

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int 1 d x + \int tan^{2} (\frac{4 x}{5}) d x)

\int 1 d x = x

\int tan^{2} (\frac{4 x}{5}) d x = - x + \frac{5}{4} tan (\frac{4 x}{5})

= 2 (x - x + \frac{5}{4} tan (\frac{4 x}{5}))

Упростите

2 (x - x + \frac{5}{4} tan (\frac{4 x}{5})) : \frac{5}{2} tan (\frac{4 x}{5})

= \frac{5}{2} tan (\frac{4 x}{5})

Добавить константу к решению

= \frac{5}{2} tan (\frac{4 x}{5}) + C