integral of 1/(3sin(x)-2cos(x)+7)

Lösung

\int \frac{1}{3 sin ( x ) - 2 cos ( x ) + 7} d x

\frac{1}{3} arctan (\frac{3}{2} tan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{3 sin ( x ) - 2 cos ( x ) + 7} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2}{9 u ^{2} + 6 u + 5} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{9 u ^{2} + 6 u + 5} d u

Vervollständige das Quadrat

9 u^{2} + 6 u + 5 : 9 (u + \frac{1}{3})^{2} + 4

= 2 \cdot \int \frac{1}{9 ( u + \frac{1}{3} ) ^{2} + 4} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{9 v ^{2} + 4} d v

Wende integrale Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{6 ( w ^{2} + 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= 2 \cdot \frac{1}{6} arctan (w)

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{6} arctan (\frac{3}{2} (tan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{3}))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{6} arctan (\frac{3}{2} (tan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{3})) : \frac{1}{3} arctan (\frac{3}{2} tan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2})

= \frac{1}{3} arctan (\frac{3}{2} tan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{3} arctan (\frac{3}{2} tan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) + C

\int + e^{2 t} cos (t) d t

\int \frac{2 x}{x ^{2} - 3 x - 2} d x

\int \frac{3 x ^{2} - 6 x + 4}{( x - 1 ) ( x - 2 ) ^{2}} d x

\int \frac{1 - sin ( x )}{2 cos ^{2} ( x )} d x

\int \frac{1}{( x + 3 ) ( x + 3 ) ^{2} - 36} d x