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integral de 1/((sqrt(9x^2-16))^3)

Solução

\int \frac{1}{( 9 x ^{2} - 16 ) ^{3}} d x

- \frac{x}{16 9 x ^{2} - 16} + C

Passos da solução

\int \frac{1}{( 9 x ^{2} - 16 ) ^{3}} d x

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{n})^{m} = a^{n \cdot m}

(9 x^{2} - 16)^{3} = (9 x^{2} - 16)^{\frac{3}{2}}

= \int \frac{1}{( 9 x ^{2} - 16 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Multiplicar pelo conjugado de

9 x^{2} - 16 : \frac{81 x ^{4} - 256}{9 x ^{2} + 16}

= \int \frac{1}{( \frac{81 x ^{4} - 256}{9 x ^{2} + 16} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Aplicar integração por substituição

= \int \frac{1}{48 ( ( u + 1 ) ( u - 1 ) ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{48} \cdot \int \frac{1}{( ( u + 1 ) ( u - 1 ) ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Multiplicar pelo conjugado de

u + 1 : \frac{u ^{2} - 1}{u - 1}

= \frac{1}{48} \cdot \int \frac{1}{( \frac{u ^{2} - 1}{u - 1} ( u - 1 ) ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Multiplicar

\frac{u ^{2} - 1}{u - 1} (u - 1) : u^{2} - 1

= \frac{1}{48} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Aplicar integração por substituição trigonométrica

= \frac{1}{48} \cdot \int cot^{2} (v) sec (v) d v

Simplificar

cot^{2} (v) sec (v) : cot (v) csc (v)

= \frac{1}{48} \cdot \int cot (v) csc (v) d v

Aplicar integração por substituição

= \frac{1}{48} \cdot \int - 1 d w

Integral de uma constante:

\int a d x = a x

= \frac{1}{48} (- 1) w

Substituir na equação

= \frac{1}{48} (- 1) csc (arcsec (\frac{3}{4} x))

Simplificar

\frac{1}{48} (- 1) csc (arcsec (\frac{3}{4} x)) : - \frac{x}{16 9 x ^{2} - 16}

= - \frac{x}{16 9 x ^{2} - 16}

Adicionar uma constante à solução

= - \frac{x}{16 9 x ^{2} - 16} + C

\int \frac{cos ( z )}{sin ^{2} ( z )} d z

\int e^{2 x} - 9 d x

\int \frac{30}{x ^{2} - 25} d x

\int \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{x} d x

\int \frac{5 x + 4}{( x - 3 ) ( x - 7 )} d x