integral of 3xe^{x^3-1}

解

\int 3 x e^{x^{3} - 1} d x

3 \cdot \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2} - \frac{x ^{2} Γ ( \frac{1}{\frac{3}{2}} , - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} )}{\frac{3}{2} \frac{3}{2} - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} + C

解答ステップ

\int 3 x e^{x^{3} - 1} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int x e^{x^{3} - 1} d x

x e^{x^{3} - 1} = e^{- 1} x e^{x^{3}}

= 3 \cdot \int e^{- 1} x e^{x^{3}} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 e^{- 1} \cdot \int x e^{x^{3}} d x

指数の規則を適用する:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= 3 \cdot \frac{1}{e} \cdot \int x e^{x^{3}} d x

u置換積分法を適用する

= 3 \cdot \frac{1}{e} \cdot \int \frac{e ^{u^{\frac{3}{2}}}}{2} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int e^{u^{\frac{3}{2}}} d u

非初等積分を使用する:

\int e^{x^{a}} d x = - \frac{x Γ ( \frac{1}{a} , - x ^{a} )}{a a - x ^{a}}

= 3 \cdot \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2} - \frac{u Γ ( \frac{1}{\frac{3}{2}} , - u ^{\frac{3}{2}} )}{\frac{3}{2} \frac{3}{2} - u ^{\frac{3}{2}}}

代用を戻す

u = x^{2}

= 3 \cdot \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2} - \frac{x ^{2} Γ ( \frac{1}{\frac{3}{2}} , - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} )}{\frac{3}{2} \frac{3}{2} - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

定数を解答に追加する

= 3 \cdot \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2} - \frac{x ^{2} Γ ( \frac{1}{\frac{3}{2}} , - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} )}{\frac{3}{2} \frac{3}{2} - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} + C