integral of (sin(pix))^4

Lösung

\int (sin (π x))^{4} d x

\frac{1}{π} (- \frac{1}{4} sin^{3} (π x) cos (π x) + \frac{3}{8} (π x - \frac{1}{2} sin (2 π x))) + C

Schritte zur Lösung

\int (sin (π x))^{4} d x

Vereinfache

= \int sin^{4} (π x) d x

Wende U-Substitution an

= \int sin^{4} (u) \frac{1}{π} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{π} \cdot \int sin^{4} (u) d u

Wende integrale Reduktion an

= \frac{1}{π} (- \frac{cos ( u ) sin ^{3} ( u )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \int sin^{2} (u) d u)

\int sin^{2} (u) d u = \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

= \frac{1}{π} (- \frac{cos ( u ) sin ^{3} ( u )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)))

Setze in

u = π x

ein

= \frac{1}{π} (- \frac{cos ( π x ) sin ^{3} ( π x )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (π x - \frac{1}{2} sin (2 π x)))

Vereinfache

\frac{1}{π} (- \frac{cos ( π x ) sin ^{3} ( π x )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (π x - \frac{1}{2} sin (2 π x))) : \frac{1}{π} (- \frac{1}{4} sin^{3} (π x) cos (π x) + \frac{3}{8} (π x - \frac{1}{2} sin (2 π x)))

= \frac{1}{π} (- \frac{1}{4} sin^{3} (π x) cos (π x) + \frac{3}{8} (π x - \frac{1}{2} sin (2 π x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{π} (- \frac{1}{4} sin^{3} (π x) cos (π x) + \frac{3}{8} (π x - \frac{1}{2} sin (2 π x))) + C

\int 2 e^{\frac{t}{2}} d t

\int \frac{e ^{- x}}{2 e ^{- x} + 1} d x

\int 4 \cdot 2^{x} d x

\int (1 + e^{- 2 y})^{\frac{3}{2}} (e^{- 2 y}) d y

\int x^{5} 3 (1 + x^{3})^{2} d x