интеграл от xe^{arcsin(x)}

Решение

\int x e^{a r c s i n (x)} d x

- \frac{e ^{a r c s i n (x)} cos ( 2 arcsin ( x ) )}{5} + \frac{e ^{a r c s i n (x)} sin ( 2 arcsin ( x ) )}{10} + C

Шаги решения

\int x e^{a r c s i n (x)} d x

Применить подстановку интеграла

= \int e^{u} cos (u) sin (u) d u

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int \frac{1}{2} e^{u} sin (2 u) d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int e^{u} sin (2 u) d u

Применить интегрирование по частям

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{u} cos (2 u) - \int - \frac{1}{2} e^{u} cos (2 u) d u)

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{u} cos (2 u) - (- \frac{1}{2} \cdot \int e^{u} cos (2 u) d u))

Применить интегрирование по частям

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{u} cos (2 u) - (- \frac{1}{2} (e^{u} \frac{1}{2} sin (2 u) - \int e^{u} \frac{1}{2} sin (2 u) d u)))

Поэтому

\int e^{u} \frac{1}{2} sin (2 u) d u = \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{u} cos (2 u) - (- \frac{1}{2} (e^{u} \frac{1}{2} sin (2 u) - \int e^{u} \frac{1}{2} sin (2 u) d u)))

Отделять

\int e^{u} \frac{1}{2} sin (2 u) d u

= - \frac{e ^{u} cos ( 2 u )}{5} + \frac{e ^{u} sin ( 2 u )}{10}

Делаем обратную замену

u = arcsin (x)

= - \frac{e ^{a r c s i n (x)} cos ( 2 arcsin ( x ) )}{5} + \frac{e ^{a r c s i n (x)} sin ( 2 arcsin ( x ) )}{10}

Добавить константу к решению

= - \frac{e ^{a r c s i n (x)} cos ( 2 arcsin ( x ) )}{5} + \frac{e ^{a r c s i n (x)} sin ( 2 arcsin ( x ) )}{10} + C