integral of (e^{3x}+e^{-x})^2e^{x+2}

解

\int (e^{3 x} + e^{- x})^{2} e^{x + 2} d x

\frac{1}{7} e^{7 x + 2} + \frac{2}{3} e^{3 x + 2} - e^{- x + 2} + C

解答ステップ

\int (e^{3 x} + e^{- x})^{2} e^{x + 2} d x

拡張

(e^{3 x} + e^{- x})^{2} e^{x + 2} : e^{7 x + 2} + 2 e^{3 x + 2} + e^{- x + 2}

= \int e^{7 x + 2} + 2 e^{3 x + 2} + e^{- x + 2} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{7 x + 2} d x + \int 2 e^{3 x + 2} d x + \int e^{- x + 2} d x

\int e^{7 x + 2} d x = \frac{1}{7} e^{7 x + 2}

\int 2 e^{3 x + 2} d x = \frac{2}{3} e^{3 x + 2}

\int e^{- x + 2} d x = - e^{- x + 2}

= \frac{1}{7} e^{7 x + 2} + \frac{2}{3} e^{3 x + 2} - e^{- x + 2}

定数を解答に追加する

= \frac{1}{7} e^{7 x + 2} + \frac{2}{3} e^{3 x + 2} - e^{- x + 2} + C